Problemi oko područja trga i još mnogo toga

Takav nevjerojatan i poznati trg. Simetrično je oko njegovog središta i sjekire povučene duž dijagonala i kroz središta bočnih strana. I tražiti područje kvadrata ili njezin volumen ne čini mnogo truda. Pogotovo ako je poznata duljina njegove strane.

Nekoliko riječi o liku i njegovim svojstvima

Prva dva svojstva odnose se na definiciju. Sve strane lika su međusobno jednake. Uostalom, kvadrat je pravi četverokut. I nužno je da su sve strane jednake, a kutovi imaju istu vrijednost, odnosno - 90 stupnjeva. Ovo je drugo svojstvo.

Treći se odnosi na duljinu dijagonala. Oni su također jednaki jedni drugima. I presijecaju se u pravim kutovima i na srednjim točkama.

Formula u kojoj se koristi samo duljina bočne strane

Prvo o oznakama. Za duljinu bočne strane, uobičajeno je odabrati slovo "a". Tad kvadrat trga izračunava se formulom: S = a ² .

Jednostavno se dobiva od one poznate po pravokutniku. U njemu se duljina i širina množe. Za kvadrat, ova dva elementa su jednaka. Stoga, kvadrat ove količine pojavljuje se u formuli.

Formula u kojoj se pojavljuje duljina dijagonale

To je hipoteza u trokutu, čije noge su noge likova. Stoga možemo koristiti formulu Pitagoranskog teorema i izvući jednakost u kojoj se strana izražava kroz dijagonalu.

Izvođenje takvih jednostavnih transformacija, dobivamo da je trg kvadrata kroz dijagonale izračunat sljedećom formulom:

S = d 2/2 . Ovdje slovo d označava dijagonalu kvadrata.

Formula oko perimetra

U ovoj situaciji potrebno je izraziti stranu preko perimetra i zamijeniti je u formuli područja. Budući da su četiri strane slike, perimetar će morati biti podijeljen s 4. To će biti vrijednost bočne strane koja se zatim može zamijeniti početnom i četvrtastom površinom.

Formula u općem obliku je sljedeća: S = (P / 4) ² .

Zadaci rješavanja

1. Postoji trg. Zbroj dviju stranica je 12 cm. Izračunajte površinu trga i njegovog perimetra.

Rješenje. Budući da je zbroj dviju strana dana, morate znati duljinu jednog. Budući da su isti, poznati broj mora se jednostavno podijeliti na dva. To jest, strana ove figure iznosi 6 cm.

Zatim se njezin perimetar i područje mogu lako izračunati iz gore navedenih formula. Prva je 24 cm, a druga 36 cm2.

Odgovor. Obod trga je 24 cm, a površina je 36 cm2.

2. Pronađite površinu trga s obodom od 32 mm.

Rješenje. Dovoljno je zamijeniti perimetarsku vrijednost u gornju formulu. Iako najprije možete znati stranu trga, a zatim i njegovu površinu.

U oba slučaja, akcije će prvo slijediti podjela, a zatim podizanje na vlast. Jednostavni izračuni dovode do činjenice da je područje prikazanog kvadrata 64 mm ² .

Odgovor. Potrebno područje je 64 mm ² .

Strana trga je 4 dm. Dimenzije pravokutnika: 2 i 6 dm. Koja od dvije figure ima više područja? Koliko?

Rješenje. Neka strana trga bude označena slovom a ₁ , zatim dužinom i širinom pravokutnika a ₂ i ₂ . Da biste odredili područje kvadrata, vrijednost ₁ mora se kvadrati, a pravokutnik se pomnoži s ₂ i ₂ . Lako je.

Ispada da je kvadrat trga 16 dm ² , a pravokutnik 12 dm ² . Očito je da je prvi lik veći od drugog. To je unatoč činjenici da su ravnopravni, tj. Imaju isti opseg. Da biste provjerili, možete računati perimetre. Na trgu, stranu treba pomnožiti s 4, ispada da je 16 dm. Na pravokutniku preklopite strane i pomnožite sa 2. Ima isti broj.

U zadatku je još uvijek potrebno odgovoriti o tome koliko se područja razlikuju. Da biste to učinili, manji se broj oduzima od većeg broja. Razlika je 4 dm ² .

Odgovor. Područja su 16 dm ² i 12 dm ² . Na trgu je više za 4 dm ² .

Problem dokaza

Stanje. Trg je izgrađen na nozi isosceles desnog trokuta . Na njegovu hipotenuzu visina je izgrađena na kojoj je izgrađen drugi trg. Dokazati da je područje prve dvostruko veće od druge.

Rješenje. Uvodimo oznaku. Neka katet bude jednak a, i visina prema hipotenusu, x. Područje prvog kvadrata je S ₁ , druga je S ₂ .

Kvadrat trga izgrađen na nozi je lako izračunati. Ispada da je ² . S drugom vrijednošću, sve nije tako jednostavno.

Prvo, trebate znati duljinu hipotenuze. Zbog toga je upotreba formule Pitagoranskog teorema. Jednostavne transformacije dovode do sljedećeg izraza: a√2.

Budući da je visina u jednodijelnom trokutu nacrtanom na bazu također medijan i visina, dijeli veliki trokut na dva jednaka jednodijelna desna trokuta. Stoga je visina polovica hipotenuse. To jest, x = (a√2) / 2. Stoga je lako otkriti područje S ₂ . Dobiva se kao 2/2.

Očigledno, zabilježene vrijednosti razlikuju se točno po dva faktora. A drugi je mnogo puta manji. Kao što je potrebno za dokazivanje.

Neobična zagonetka - tangram

Izrađen je s trga. Potrebno je rezati u različite oblike prema određenim pravilima. Ukupni dijelovi bi trebali biti 7.

Pravila pretpostavljaju da će se tijekom igre sve dobivene pojedinosti koristiti. Od tih, morate napraviti druge geometrijske oblike. Na primjer, pravokutnik, trapezoid ili paralelogram.

No, to je još zanimljivije kada se siluete životinja ili predmeta dobivaju iz komada. I ispostavilo se da je područje svih izvedenih likova jednako onom na početnom kvadratu.