Što je aritmetika? Glavni teorem aritmetike. Binarna aritmetička

Što je aritmetika? Kada je čovječanstvo počelo koristiti brojeve i raditi s njima? Odakle dolaze korijeni takvih uobičajenih pojmova, kao brojeva, fraktura, oduzimanja, dodavanja i množenja, koji je čovjek učinio neodvojivim dijelom svog života i svjetonazora? Drevni Grci se divili takvim znanostima kao što su matematika, aritmetika i geometrija, kao najljepše simfonije ljudske logike.

Možda aritmetika nije toliko duboka kao i druge znanosti, ali što bi im se dogodilo, zaboravite elementarnu tablicu umnožavanja? Uobičajeno logičko razmišljanje, koristeći brojeve, frakcije i druge alate, nije bilo lako davati ljudima i dugo nije bilo dostupno za naše pretke. Zapravo, prije razvoja aritmetike, područje ljudskog znanja nije doista bilo znanstveno.

Aritmetička je abeceda matematike

Aritmetička je znanost brojeva s kojima se svaka osoba počinje upoznavati s fascinantnim svijetom matematike. Kao što je rekao M. Lomonosov, aritmetika je pristupnica stipendije koja nam otvara put do svjetskog znanja. Ali ima pravo, može li se znanje o svijetu odvajati od znanja o brojevima i slovima, matematici i govoru? Možda u starim vremenima, ali ne u modernom svijetu, gdje brz razvoj znanosti i tehnologije diktira svoje zakone.

Riječ "aritmetika" (grčki "arithmos") grčkog podrijetla znači "broj". Proučava broj i sve što može biti povezano s njima. Ovo je svijet brojeva: različite akcije na brojevima, numerička pravila, rješavanje problema koji uključuju umnožavanje, oduzimanje i tako dalje.

Opće je prihvaćeno da je aritmetika početni korak matematike i čvrsti temelj za složenije dijelove, kao što su algebra, matanaliza, veća matematika i tako dalje.

Glavni cilj aritmetike

Temelj aritmetike je cijeli broj čija se svojstva i pravilnosti smatraju višom aritmetičkom ili teorijom brojeva. Zapravo, snaga cijele zgrade - matematika ovisi o tome kako dobro uzeti točan pristup pri razmatranju takvog manjeg bloka kao prirodnog broja.

Dakle, pitanje što je aritmetika može se jednostavno odgovoriti: to je znanost o brojevima. Da, o uobičajenim sedam, devet i svima tim raznovrsnim zajednicama. I baš kao što ne možete napisati dobre i osrednje pjesme bez osnovne abecede, bez aritmetičara, ne možete riješiti i osnovni problem. Zato se sve znanosti razvile tek nakon razvoja matematičkih i aritmetika, prije svega samo skup pretpostavki.

Aritmetičko - fantomska znanost

Što je aritmetika - prirodna znanost ili fantom? Zapravo, kako tvrde drevni grčki filozofi, u stvarnosti nema brojeva ili brojki. Ovo je samo fantom koji se stvara u ljudskom razmišljanju pri razmatranju okoliša s njegovim procesima. Zapravo, što je broj? Nigdje ne vidimo ništa slično, što bi se moglo nazvati brojom, a broj je način ljudskog uma da proučava svijet. I možda je ovo proučavanje sebe iznutra? Filozofi su se raspravljali o tome već nekoliko stoljeća zaredom pa ne poduzimamo iscrpan odgovor. Na jedan ili drugi način, aritmetika je uspjela čvrsto preuzeti svoje stavove da se u današnjem svijetu nitko ne može smatrati društveno prilagođenim bez znanja o njegovim temeljima.

Kako se pojavio prirodni broj

Naravno, glavni objekt kojim upravlja aritmetički je prirodni broj, kao što su 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... itd. Aritmetika prirodnih brojeva rezultat je prebrojavanja običnih predmeta, na primjer, krava na livadi. Ipak, definicija "puno" ili "malo" nekad prestala odgovarati ljudima, i morala sam izmisliti bolje tehnike računanja.

No doista se došlo do pravog otkrića kad je ljudska misao dospjela do točke da je moguće označiti istim brojem "dva" 2 kilograma, 2 opeke i 2 dijela. Činjenica je da morate apstrahirati od oblika, svojstava i značenja predmeta, a zatim možete napraviti neke akcije s tim objektima u obliku prirodnih brojeva. Tako se rađa aritmetika brojeva, koja se dalje razvijala i proširila, zauzimajući sve veće pozicije u životu društva.

Takvi temeljni pojmovi brojeva, kao nula i negativni broj, frakcije, bilježenje broja brojeva i na druge načine, imaju bogatu i zanimljivu povijest razvoja.

Aritmetički i praktični Egipćani

Dva od najstarijih ljudskih pratitelja u proučavanju okolnog svijeta i rješavanja svakodnevnih problema su aritmetika i geometrija.

Vjeruje se da povijest aritmetike potječe iz Drevnog Istoka: u Indiji, Egiptu, Babilonu i Kini. Tako je papirus od Rinda egipatskog podrijetla (nazvan tako, jer pripada vlasniku istog imena), datiran u XX stoljeće. BC, osim ostalih vrijednih podataka, sadrži raspadanje jedne frakcije zbrojem frakcija s različitim nazivnikom i brojačem jednakim jednoj.

Na primjer: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Ali koja je točka takve složene razgradnje? Činjenica je da egipatski pristup nije tolerirao apstraktno razmišljanje o brojevima, naprotiv, izračuni su napravljeni samo za praktične svrhe. To jest, egipatski će se baviti takvim stvarima kao što su izračuni, isključivo radi izgradnje grobnice, na primjer. Bilo je potrebno izračunati duljinu ruba strukture, a to je prisililo osobu da sjedne za papirus. Očigledno, egipatski napredak u izračunima je prouzročio, već masivnu konstrukciju, a ne ljubav prema znanosti.

Zbog toga se izračuni na papirima ne mogu nazvati refleksijama na frakcijama. Najvjerojatnije je to praktična nabava koja je u budućnosti pomogla u rješavanju problema s frakcijama. Drevni Egipćani, koji nisu znali tablice umnožavanja, dali su prilično dugi izračuni, razbijeni u mnoge podzakle. Možda je ovo jedna od tih podzadataka. Nije teško vidjeti da su izračuni s takvim pripremanjem vrlo naporni i malo izgleda. Možda, zbog toga, ne vidimo veliki doprinos drevnog Egipta razvoju matematike.

Drevna Grčka i Filozofska aritmetička

Mnogo poznavanja drevnog Istoka uspješno su osvojili drevni Grci, poznati ljubitelji apstraktnih, apstraktnih i filozofskih razmišljanja. Praksa njih nije imala ništa manje zanimanje, ali teško je pronaći najbolje teoretičare i mislioce. Ovo je koristilo znanost, jer je nemoguće izvući u aritmetiku bez da je razbije sa stvarnošću. Naravno, možete umnožiti 10 krava i 100 litara mlijeka, ali neće biti moguće ići daleko.

Razmišljajući duboko, Grci su ostavili značajan trag u povijesti, a njihovi se spisi dosegli:

• Euklid i "Početak".
• Pitagora.
• Arhimed.
• Eratosten.
• Zenon.
• Anaksagora.

Naravno, Grci su sve pretvorili u filozofiju, a osobito nastavnici pitagorejskog slučaja, bili toliko zainteresirani za brojeve koji su ih smatrali otajstvom harmonije svijeta. Brojevi su tako proučavani i proučavani da su neki od njih i njihovi parovi pripisani posebnim svojstvima. Na primjer:

• Savršeni brojevi su oni koji su jednaki zbroju svih njihovih razdjelnika, osim samog broja (6 = 1 + 2 + 3).
• Prijateljski brojevi su brojevi, od kojih je jedan jednak zbroju svih divizora drugog, i obratno (Pitagorejci su poznavali samo takav par: 220 i 284).

Grci, koji su vjerovali da je znanost potrebna voljeti i da ne bi bila s njom zbog dobitka, postigla je veliki uspjeh, istraživala, igrala i dodavala brojeve. Valja napomenuti da nisu svi njihovi nalazi pronašli široku primjenu, neki od njih ostaju samo "za ljepotu".

Istočni mislioci srednjeg vijeka

Slično tome, u srednjem vijeku, aritmetika duguje svoj razvoj istočnjačkim suvremenicima. Indijanci su nam dali brojke koje aktivno koristimo, takav pojam kao "nula" i pozicijska verzija sustava računanja koja je poznata modernoj percepciji. Od al-kaše, koji je radio u Samarkandu u 15. stoljeću, naslijedili smo desetke, bez kojih je teško zamisliti suvremenu aritmetičku.

Na mnoge načine, poznanstvo Europe s dostignućima Istoka postalo je moguće zahvaljujući radu talijanskog znanstvenika Leonardo Fibonacci, koji je napisao knjigu "The Abacus Book", uvođenjem istočnih inovacija. Ona je postala kamen temeljac razvoja algebre i aritmetičke, istraživačke i znanstvene djelatnosti u Europi.

Ruska aritmetička

I konačno, aritmetika, koja je našla svoje mjesto i ukorijenjena u Europi, počela se širiti na ruske zemlje. Prva ruska aritmetika objavljena je 1703. godine - to je bila knjiga o aritmetici Leonty Magnitskog. Dugo je vremena ostao jedini nastavni priručnik o matematici. Sadrži početne trenutke algebre i geometrije. Brojke, koje su u primjerima primijenjene prve ruske udžbenike aritmetike, arapskog. Iako su arapski brojevi bili naišli ranije, na gravurama iz 17. stoljeća.

Knjiga je ukrašena slikama Arhimeda i Pitagora, a na prvom licu - slika aritmetike u obliku žene. Ona sjedi na prijestolju, pod njim je na hebrejskom jeziku riječ koja označava ime Boga, a na stubama koje vode na prijestolje, upisane su riječi "podjela", "množenje", "dodavanje" itd. Jedino se može zamisliti značenje izdano Takve istine, koje se sada smatraju uobičajenim.

Udžbenik od 600 stranica opisuje osnove poput tablice za umnožavanje i umnožavanje i aplikacija u navigacijskim znanostima.

Nije iznenađujuće da je autor odabrao slike grčkih mislioca za svoju knjigu, jer je on sam bio zadivljen ljepotom aritmetike, govoreći: "Aritmetički je brojilac, postoji pošten, neutemeljen umjetnost ...". Ovaj pristup aritmetičkoj potpuno je opravdan, jer je njegov široko rasprostranjen uvod koji se može smatrati početkom brzog razvoja znanstvene misli u Rusiji i općeg obrazovanja.

Neugodni premijeri

Pozivni broj je prirodni broj koji ima samo 2 pozitivna razdjeljivača: 1 i sama. Svi drugi brojevi, ne brojeći 1, nazivaju se kompozitni. Primjeri brojeva: 2, 3, 5, 7, 11 i svi ostali koji nemaju druge dijelove, osim broja 1 i sebe.

Što se tiče broja 1, to je na poseban način - postoji uvjerenje da se ne smije smatrati ni jednostavnim ni kompleksnim. Jednostavan na prvi pogled jednostavan broj skriva puno neriješenih misterija unutar sebe.

Euklidov teorem kaže da su premijeri beskonačni setovi, a Eratosthenes je došao do posebnog aritmetičkog "sita" koji pomiče neugodne brojeve ostavljajući samo one jednostavne.

Njegova je bitno naglasiti prvi broj koji nije podcrtan, au budućnosti će izbrisati one koji su višestruki. Ponavljamo ovaj postupak mnogo puta i dobijemo tablicu premijera.

Glavni teorem aritmetike

Među promatranjem na brojevima, moramo na poseban način spomenuti osnovni teorem aritmetike.

Osnovni teorem aritmetike kaže da je bilo koji cijeli broj veći od 1 ili jednostavan, ili se može razgraditi u proizvod primes unutar reda čimbenika, na jedinstven način.

Glavni teorem aritmetike pokazao se prilično nezgrapanim, a njeno razumijevanje više nije slično najjednostavnijim temeljima.

Na prvi pogled, premijeri su elementarni koncept, ali to nije tako. Fizika je također jednom razmatrala atomski elementarni dok nije pronašao cijeli svemir unutar nje. Lijepa priča o matematičaru Don Tsagiru "Prvih pedeset milijuna premijera" posvećena je prvorazrednim brojevima.

Od "tri jabuke" do deduktivnih zakona

Ono što se uistinu može nazvati pojačanim temeljem cjelokupne znanosti jest zakoni aritmetike. Kao dijete, svatko se suočava s aritmetičkom, proučavajući broj nogu i olovaka u lutkama, broju kockica, jabuka itd. Zato proučavamo aritmetiku, koja se nastavlja prema složenijim pravilima.

Cijeli naš život nas upoznaje s pravilima aritmetike, koje su za običnog čovjeka postale najkorisnije od svega što znanost daje. Proučavanje brojeva je "aritmetika-beba", koja uvodi osobu u svijet brojeva u obliku brojeva u ranom djetinjstvu.

Viša aritmetika je deduktivna znanost koja proučava zakone aritmetike. Većina njih znamo, iako, možda, ne znamo njihove točne formulacije.

Zakon o dodavanju i umnožavanju

Bilo koja dva prirodna broja a i b mogu se izraziti kao a + b, što je također prirodni broj. Što se tiče dodavanja, primjenjuju se sljedeći zakoni:

• Komutativni koji kaže da se zbroj ne mijenja iz permutacija summata na mjestima, ili a + b = b + a.
• Associative , koji kaže da zbroj ne ovisi o načinu grupiranja summata na mjestima, ili a + (b + c) = (a + b) + c.

Pravila aritmetike, kao što su dodavanje, su neke elementarne, ali se koriste u svim znanostima, a da ne spominjemo svakodnevni život.

Bilo koja dva prirodna broja a i b mogu se izraziti u proizvodu a * b ili a * b, što je također prirodni broj. Isti komutativni i asocijativni zakoni primjenjuju se na proizvod kao dodatak:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

Zanimljivo je da postoji zakon koji kombinira dodavanje i množenje, koji se naziva i distributivnim ili distributivnim zakonom:

A (b + c) = ab + ac

Ovaj zakon zapravo nas uči da radimo s zagradama, otkrivamo ih, stoga možemo raditi s složenijim formulama. To su upravo zakoni koji će nas voditi kroz bizarni i složeni svijet algebre.

Zakon aritmetičkog poretka

Zakon reda koristi svakodnevno ljudsku logiku, uspoređujući satove i računajući račune. I ipak, i treba formalizirati u obliku konkretnih formulacija.

Ako imamo dva prirodna brojeva a i b, moguće su sljedeće opcije:

• A je b, ili a = b;
• A je manji od b, ili a
• A je veći od b, ili a> b.

Od tri opcije, samo jedna može biti fer. Osnovni zakon koji uređuje red kaže: ako su

Postoje i zakoni koji povezuju red s postupcima umnožavanja i zbrajanja: ako je

Zakoni aritmetike nas uče da rade s brojevima, znakovima i zagradama, pretvarajući sve u skladnu simfoniju brojeva.

Položajni i nesposobni sustavi izračuna

Možemo reći da su brojevi matematički jezik, od praktičnosti koji mnogo ovisi. Postoje mnogi sustavi računanja, koji se, poput alfabeta različitih jezika, međusobno razlikuju.

Uzeti u obzir broj sustava sa stanovišta utjecaja na pozicije na kvantitativne vrijednosti prst u tom položaju. Na primjer, sustav je rimski nonpositional gdje svaki broj kodira određeni skup posebnih znakova: I / V / X / L / C / D / M su, redom, brojevi 1/5/10/50/100/500 / 1000. U ovom sustavu, ta brojka ne mijenja svoj kvantitativno određivanje, ovisno o tome na kojoj poziciji bi trebao: .. Prva, druga, itd Za ostale brojeve, potrebno je utvrditi osnovicu. Na primjer:

• DCC = 700.
• CCM-800.

Više nam poznate brojevni sustav arapskim brojevima je položajno. U takvom sustavu je broj pražnjenja definira broj znamenki, na primjer, troznamenkaste brojeve: 333, 567, itd Težina prema bilo kojem od pražnjenja ovisi o mjestu na kojem je slika je jedan ili drugi, na primjer, slika 8 u drugom položaju ima vrijednost 80. To je tipično za decimalnog sustava, postoje i druge pozicijski sustava, kao što su binarni.

binarni aritmetički

Mi smo upoznati decimalni sustav, koji se sastoji od jednog bita i multi-bitne brojeve. Lik na lijevoj strani u znamenkasti broj je deset puta veća u značaja za one na desnoj strani. Dakle, koristili smo čitati 2, 17, 467, i tako dalje. D. To je drugačiji logika i pristup sekcija, koja se zove „binarna aritmetika.” To i ne čudi, jer je binarna aritmetika nije stvoren za ljudsku logiku, a za računalo. Ako je aritmetička brojeva potječe iz prebrojavanja, što dodatno zahvaća iz predmetne nekretnine na „goli” aritmetika, onda to neće raditi s računalom. Da bi mogli podijeliti svoje znanje s računalom, čovjek je morao izmisliti izračun modela.

Binarna aritmetika radi s binarnom abecedom, koji se sastoji samo od 0 i 1. I korištenje ovog pisma se zove binarni sustav.

Za razliku od binarnom aritmetičke decimale da je važnost položaja lijevo su više 10 nije, i 2 puta. Binarni brojevi su oblika 111, 1001 i tako dalje. D. Kako trebamo razumjeti ove brojeve? Dakle, smatramo broj 1100:

1. Prva znamenka slijeva - 1 * 8 = 8, imajući u vidu da je četvrta znamenka, što znači da mora biti pomnožen sa 2, dobili smo poziciju 8.
2. Druga brojka 1 * 4 = 4 (pozicija 4).
3. Treća znamenka 0 * 2 = 0 (pozicija 2).
4. Četvrta znamenka 0 * 1 = 0 (položaj 1).
5. Dakle, naš broj 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To je, prijelaz u novu kategoriju na lijevoj njegov značaj u binarnom sustavu množi 2 i decimalnog - do 10. Takav sustav ima jedan nedostatak: to je prevelika bita rasta koji su potrebni za snimanje brojeva. Primjeri decimalne brojeve dvochinyh kao što se može vidjeti u sljedećoj tablici.

Decimalni brojevi su zastupljeni u binarnom obliku u nastavku.

Također se koristi oktalni i heksadecimalni sustav numeriranja.

Ovaj misteriozni aritmetički

Što je aritmetička „dva plus dva” ili neistraženo misterije brojeva? Kao što možete vidjeti, aritmetika, može, i što se čini na prvi pogled jednostavna, ali to nije očito varljive jednostavnost. Moguće je učiti djecu, a zajedno s tetom Owl iz crtića „aritmetičko beba”, a možete zaroniti u duboko znanstvenim istraživanjima gotovo filozofska narudžbe. U povijesti je otišao od brojanja objekata obožavati ljepotu brojeva. Jedno je sigurno: s uspostavom osnovnih postulata aritmetike, svi znanost može osloniti na njezinu jakom ramenu.