Zbroj kuteva trokuta. Teorem o zbroju kutova trokuta

Trokut je poligon s tri strane (tri kutovi). Najčešće, dio označeno malim slovima odgovarajućih slova, koji predstavljaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo pogledati ove vrste geometrijskih oblika, teorem, koji definira što je jednak zbroju kutova trokuta.

Tipovi najveći kutovi

Sljedeće vrste poligona s tri vrha:

• akutne kutom, u kojoj su svi kutovi su oštri;
• pravokutni ima jedan pravi kut, strana formirana, iz nogu, te dio koji je smješten na suprotnoj strani od pravog kuta naziva hipotenuze;
• tupo kad kut je tup ;
• jednakokračan, čije dvije strane jednake, a nazivaju se bočno, a treći - trokut s bazom;
• jednakostraničan ima tri jednake strane.

nekretnine

Izdvojiti osnovna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trokuta:

• nasuprot najveća strana je uvijek veći kut, i obratno;
• ravnopravni kutovi nasuprot jednake po veličini stranke, i obratno;
• u svakom trokut ima dvije oštre kutove;
• vanjski kut veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji nije susjedan ovome;
• zbroj bilo koje dvije kuteva je uvijek manje od 180 stupnjeva;
• vanjski kut jednak je zbroju druga dva ugla, koji nisu mezhuyut s njim.

Teorem o zbroju kutova trokuta

Teorem kaže da ako dodate sve kutove geometrijskog oblika, koji se nalazi u euklidske ravnine, onda je njihov zbroj će biti 180 stupnjeva. Pokušajmo dokazati tu teorem.

Neka imamo proizvoljni trokut s vrhovima KMN. Na vrhu M održat će izravan paralelno s linije KN (čak i ova linija se zove Euklida). Valja napomenuti točku A, tako da su točke K i A uređen s različitih strana linije MN. Mi smo dobili isti kut AMS i MUF, koji, kao i interijer, leže poprečno u obliku presijecaju MN u kombinaciji s izravnim CN i MA, koji su paralelni. Iz toga slijedi da je zbroj kutova trokuta, koji se nalazi na vrhovima M i N jednaka je veličini kuta CMA. Sva tri kutovi se sastoje od zbroja jednak zbroju kutova KMA i MCS. Budući da su podaci unutarnji kutovi relativni sided paralelne linije CL i CM MA na presijecaju njihova suma je 180 stupnjeva. To dokazuje teorem.

rezultat

Od gore navedenog teorema podrazumijeva sljedeće Posljedica: svaki trokut ima dvije oštre kutove. Da bi to dokazao, pretpostavimo da je ova geometrijska figura ima samo jedan šiljasti kut. Možete pretpostaviti da nitko od uglova nisu oštre. U tom slučaju mora biti najmanje dva kutova, od kojih je magnituda je jednak ili veći od 90 stupnjeva. No, tada je zbroj kuteva veći od 180 stupnjeva. No, to ne može biti, kao što je u skladu s teorem sum kuteva trokuta jednak je 180 ° - nema više, ni manje. To je ono što se moralo dokazati.

Nekretnine izvan ugla

Što je zbroj kuteva trokuta, koji su vanjski? Odgovor na to pitanje može se dobiti primjenom jednog od dva načina. Prva je da morate pronaći zbroj svih kutova, koji su uzeti jednu na svaki vrh, odnosno tri kuta. Druga podrazumijeva da morate pronaći zbroj svih šest kutova na vrhovima. Se nositi s početkom u prvoj izvedbi. Dakle, trokut sadrži šest vanjske kutove - na vrhu svakog od ta dva. Svaki par ima jednake kutove između sebe, jer su okomiti:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Osim toga, poznato je da je vanjski kut trokuta jednak je zbroju dva interijera, koji nisu mezhuyutsya s njim. dakle,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Iz toga se da je zbroj vanjskih kutova, koje su poduzete jedan po jedan u blizini svaki vrh će biti jednak:

∟1 + ∟2 + = ∟3 ∟A + ∟S ∟A ∟V + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

S obzirom na činjenicu da je zbroj kutova jednak 180 stupnjeva, može se reći da ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. To znači da ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ako se koristi druga mogućnost, zbroj od šest kutova bit će odgovarajuće veća dvaput. Odnosno zbroj kutova trokuta izvan će biti:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pravokutni trokut

Što je jednak zbroju kutova pravokutnog trokuta, je otok? Odgovor je, opet, iz teorema, u kojem se navodi da su kutovi trokuta dodati do 180 stupnjeva. Zvuk je naša tvrdnja (imovine) na sljedeći način: u pravokutni trokut oštrih kutova dodati do 90 stupnjeva. Mi dokazati svoju vjerodostojnost. Neka bude dao trokut KMN, koji ∟N = 90 °. Potrebno je dokazati da ∟K ∟M = + 90 °.

Tako je, prema teoremu o zbroju kutova ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. U tom stanju on je rekao da ∟N = 90 °. Ispada ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Da je ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. To je ono što mi treba dokazati.

Osim navedenih svojstava pravokutnog trokuta, možete dodati ove:

• kutovi, koje leže na nogama su oštre;
• je dužina hipotenuze trokutasti veća od bilo koje od nogu;
• zbroj krakova više od hipotenuze;
• noga trokuta, koji se nalazi nasuprot kutom od 30 stupnjeva, pola hipotenuze, koja je jednaka njegovoj polovici.

Kao drugu imovinu geometrijskog oblika može se razlikovati Pitagorin teorem. Ona tvrdi da je u trokut s kutom od 90 stupnjeva (pravokutni), zbroj kvadrata nogama jednak kvadratu hipotenuze.

Zbroj kuteva jednakokračan trokut

Ranije smo rekli da je jednakokračan trokut je poligon s tri vrha, koji sadrži dvije jednake strane. Ova nekretnina je poznato geometrijski lik: kutovi na svojoj bazi jednaki. Neka nam dokazuju.

Uzmi trokut KMN, koji je jednakokračan, SC - svoju bazu. Od nas se traži da dokaže da ∟K = ∟N. Dakle, pretpostavimo da je MA - KMN je simetrala našeg trokuta. ICA trokut s prvim znakom jednakosti je trokut MNA. Naime, hipoteza s obzirom da je CM = NM, MA je čest strana, ∟1 = ∟2, jer MA - to simetrala. Koristeći jednakost dva trokuta, moglo bi se tvrditi da je ∟K = ∟N. Dakle, teorem dokazuje.

No, mi smo zainteresirani, što je zbroj kuteva trokuta (jednakokračnog). Budući da u tom pogledu nema na značajke ćemo početi od teorem prethodno pojašnjeno. To je, možemo reći da ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ili 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kao ∟K = ∟N). To neće dokazati vlasništvo, kao i teorem o zbroju kutova trokuta je ranije dokazano.

Osim smatra svojstva kutova trokuta, postoje i takve važne izjave:

• u jednakostraničnog trokuta visine, koja je spuštena na bazu, istovremeno medijan simetrala kut koji je između jednake strane i osi simetrije svoje baze;
• medijan (simetrala, visina), koje se drže na stranama geometrijskog lika, jednaki.

jednakostraničan trokut

Također se zove pravo, je trokut, koji su jednaki za sve strane. A time i jednaki i kutova. Svaki od njih je 60 stupnjeva. Neka nam dokaže to svojstvo.

Pretpostavimo da imamo trokut KMN. Znamo da je KM = HM = KH. To znači da je, u skladu s objekta kutova koji se nalaze na dnu u jednakostraničnog trokuta ∟K = ∟M = ∟N. Budući da, prema zbroju kutova trokuta teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° C, a zatim 3 x = 180 ° ∟K ili ∟K = 60 °, 60 ° ∟M =, ∟N = 60 °. Dakle, tvrdnja je dokazana. Kao što se vidi iz gore navedene dokaze na temelju navedenog teorema, zbroj kutova jednakostraničnog trokuta, kao zbroj kutova bilo kojeg drugog trokuta je 180 stupnjeva. Opet se dokazuje ovaj teorem nije potrebno.

Još uvijek postoje neke osobine karakteristične za jednakostraničan trokut:

• srednja visina simetrala u geometrijskom slici identični, a njihova dužina je izračunata kao (a x √3): 2;
• ako je to poligon obavijanje krug, a zatim će biti radijus jednak (a x √3): 3;
• Ako upisane u krug istostraničnog trokuta, njegov radijus biti (a x √3): 6;
• Područje geometrijskog lika se izračunava formulom: (a2) x √3: 4.

tup trokut

Po definiciji, otupjeli pravokutnog trokuta, jedan od njegovih kutova je između 90 do 180 stupnjeva. No, s obzirom na činjenicu da su druga dva kutovi geometrijskog oblika oštar, može se zaključiti da oni ne prelaze 90 stupnjeva. Dakle, zbroj kuteva trokuta teorem radi u izračunu zbroja kutova u tupog trokut. Dakle, sa sigurnošću možemo reći, na temelju navedene teorem da je zbroj tupih kutova trokuta je 180 stupnjeva. Opet, to teorem ne morate ponovo dokaz.