Kako izračunati područje piramide: bazu, stranu i punu?

Pri pripremi za uporabu u matematici, studenti moraju sustaviti znanje o algebru i geometriji. Želim kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. I polazeći od baze i bočnih strana do površine cijele površine. Ako je situacija s bočnim stranama jasna, budući da su trokuta, baza je uvijek drugačija.

Kako se nalaziti kada pronađete podrucje baze piramide?

To može biti bilo koja vrsta likova: od proizvoljnog trokuta do n-gona. I ovaj temelj, osim razlike u broju kutova, može biti točna brojka ili netočna. U školskim zadacima od interesa za školsku djecu, susreću se samo poslovi s točnim brojevima na bazi. Stoga ćemo samo razgovarati o njima.

Pravo trokut

To je jednakostraničan. Jedna sa svih strana jednaka i označena slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:

S = (a ² * 3) / 4.

kvadrat

Formula za izračunavanje svog područja je najjednostavnija, ovdje je "a" ponovno strana:

S = a ² .

Nezavisni redoviti n-gon

Strana poligona ima isti zapis. Za broj kutova koristite latino slovo n.

S = (n * a2) / (4 * tg (180º / n)).

Što trebam učiniti prilikom izračuna površine bočne i pune površine?

Budući da baza ima pravu figuru, sva lica piramide su jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednodijelni trokut, budući da su bočni rubovi jednaki. Zatim, kako bismo izračunali bočno područje piramide, potrebna nam je formula koja se sastoji od zbroja identičnih monomala. Broj pojmova određen je brojem stranica baze.

Područje jednodijelnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica produkta baze pomnoži sa visinom. Ova visina u piramidi naziva se apophema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za površinu bočne površine je sljedeća:

S = ½ P * A, gdje je P perimetar baze piramide.

Postoje situacije u kojima nisu poznate strane baze, ali na bočnim rubovima (c) i ravnom kutu na vrhu (α). Tada bi trebala koristiti takvu formulu za izračunavanje bočnog područja piramide:

S = n / 2 * u ² sin a .

Zadatak broj 1

Stanje. Pronađite ukupnu površinu piramide ako ima jednakostranični trokut sa stranom od 4 cm, a apophema ima vrijednost √3 cm.

Rješenje. Počinje izračunavanjem perimetra baze. Budući da je to pravilan trokut, onda je P = 3 * 4 = 12 cm. Budući da je poznat apophema, možemo odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm ² .

Za trokut na dnu dobivamo sljedeću vrijednost područja: (4 ² * √ 3) / 4 = 4 √ 3 cm ² .

Da biste odredili ukupnu površinu, potrebno je dodati dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odgovor. 10, 3 cm2.

Zadatak broj 2

Stanje . Postoji redovita četverokutna piramida. Duljina stranice baze je 7 mm, bočni rub 16 mm. Potrebno je upoznati površinu svoje površine.

Rješenje. Budući da je polyhedron četverokutna i redovita, nalazi se kvadrat u svojoj bazi. Nakon što je naučio područje podnožja i bočnih strana, moguće je računati područje piramide. Formula za kvadrat daje gore. I bočna lica poznata su svim stranama trokuta. Zato možete upotrijebiti Geronovu formulu kako biste izračunali njihova područja.

Prvi izračuni su jednostavni i dovode do takvog broja: 49 mm ² . Za drugu vrijednost morat ćete izračunati semiperimetar: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možemo izračunati područje jednodijelnog trokuta: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ² ) = √2985,9375 = 54,644 mm ² . Postoje samo četiri takva trokuta, tako da kod izračuna konačnog broja morate ga pomnožiti za 4.

Ispada: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm ² .

Odgovor . Tražena vrijednost je 267,576 mm ² .

Zadatak broj 3

Stanje . U redovitoj četverokutnoj piramidi potrebno je izračunati površinu. Poznaje stranu trga - 6 cm i visine - 4 cm.

Rješenje. Najjednostavniji način je korištenje formule s proizvodom perimetra i apoteke. Prva je vrijednost jednostavna za pronalaženje. Drugi je malo složeniji.

Morat ću se sjetiti pitagoreanskog teorema i razmotriti pravokutni trokut. Oblikovana je visinom piramide i apopheme, što je hipotenuzu. Druga noga je jednaka polovici stranice trga, jer visina poliedra pada na sredinu.

Željeni apopheme (hypotenuse pravokutnog trokuta) je √ (3 ² + 4 ² ) = 5 (cm).

Sada možemo izračunati potrebnu količinu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ² ).

Odgovor. 96 cm2.

Zadatak broj 4

Stanje. S obzirom na regularnu šesterokutnu piramidu. Strane su 22 mm, bočne rebra 61 mm. Koja je površina bočne površine tog poliedra?

Rješenje. Argumenti u njoj su isti kao oni opisani u 2. problemu. Samo je dano piramide s kvadratom na dnu, a sada je šesterokut.

Prvi je korak izračunati osnovno područje prema gornjoj formuli: (6 * 22 ² ) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm2.

Sada je potrebno poznavati pola perimetra jednodijelnog trokuta, koji je bočno lice. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje prema Heronovoj formuli za izračunavanje površine svakog takvog trokuta, a zatim je pomnoži sa šest i dodati je onoj koja se ispostavila za bazu.

Izračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) ² ) = √435600 = 660 cm2. Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 660 * 6 = 3960 cm2. Ostaje ih dodati kako bi saznali cijelu površinu: 5217.47≈5217 cm ² .

Odgovor. Podloge su 726, 3 cm2, bočna površina iznosi 3960 cm2, ukupna površina iznosi 5217 cm2.