Aritmetička progresija

Problemi aritmetičke napredovanja postojali su već u davnim vremenima. Oni su se pojavili i zahtijevali rješenja jer su imali praktičnu potrebu.

Tako je u jednom od papira iz drevnog Egipta, koji ima matematički sadržaj, Rhindus papirus (XIX. Stoljeće prije Krista) sadrži takav zadatak: uklonio deset mjera kruha za deset ljudi, pod uvjetom da je razlika između svake od njih jedna osma mjera ".

A u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantni teoremi koji se odnose na aritmetičku progresiju. Tako je Gipsicle of Alexandria (II. Stoljeće prije Krista), koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim principima, formulirao je ideju: "U aritmetičkoj progresiji s barem brojem izraza, zbroj članova druge polovice je veći od zbroja uvjeta 1- Po broju koji je višekratnik kvadrata 1/2 od broja izraza. "

Uzimamo proizvoljnu seriju pozitivnih cjelina (veći od nule): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., što se naziva numerička sekvenca.

Sekvenca a. Brojevi sekvenci nazivaju se njezinim članovima i obično su označeni slovima s indeksima koji upućuju na redni broj ovog člana (a1, a2, a3 ... čitaju: "prvi", "drugi", "3-y" i tako dalje ).

Redoslijed može biti beskonačan ili konačan.

A što je aritmetička progresija? Podrazumijeva se kao slijed brojeva dobiven dodavanjem prethodnog pojma (n) s istim brojem d, što je razlika u progresiji.

Ako je d <0, tada imamo smanjenje napredovanja. Ako je d> 0, tada se takav napredak smatra povećanjem.

Smatra se da je aritmetička napredovanja konačna ako se uzme u obzir samo nekoliko njegovih prvih pojmova. S vrlo velikim brojem članova, to je beskonačna napredovanja.

Bilo koja aritmetička napredovanja dana je sljedećom formulom:

A = kn + b, pri čemu b i k su neki brojevi.

Izjava koja je obrnuto apsolutno je istinita: ako je sekvencija dana sličnom formulom, onda je to točno aritmetička progresija koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg.
2. Nasuprot tome, ako je, počevši od drugog, svaki izraz aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg, tj. Ako je uvjet zadovoljen, tada je ova sekvenca aritmetička progresija. Ova jednakost je također znak progresije, pa se, u pravilu, naziva karakteristikom svojstva progresije.
   Slično tome, teorem koji odražava ovo svojstvo je istinit: slijed je aritmetička napredak samo ako je ta jednakost istinita za bilo koji od pojmova slijeda, počevši od druge.

Karakteristično svojstvo bilo kojeg četiri broja aritmetičke napredovanja može se izraziti formulom a + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji nužni (N-th) izraz može se naći primjenom sljedeće formule:

A = a1 + d (n-1).

Na primjer: daje se prvi izraz (a1) u aritmetičkoj progresiji i jednak tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Pronađite četrdeset peti član ovog progresije. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula a = ak + d (n - k) omogućuje nam da odredimo nth pojam aritmetičke napredovanja kroz bilo koji od njezinih k-th pojmova, pod uvjetom da je poznat.

Zbroj izraza aritmetičke napredovanja (misli se na prve n pojmove konačne napredovanja) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Ako je poznata razlika između aritmetičke progresije i prvog pojma, tada je druga formula praktična za računanje:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Zbroj aritmetičke napredovanja, koji sadrži n pojmove, izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Izbor formula za izračunavanje ovisi o uvjetima zadataka i početnim podacima.

Prirodna serija bilo kojeg broja, kao što su 1,2,3, ..., n, ..., je najjednostavniji primjer aritmetičke napredovanja.

Uz aritmetičku napredovanje, postoji i geometrijska progresija koja ima svoje osobine i karakteristike.