Jednadžba ravnine: kako napraviti? Tipovi avion jednadžbe

Zrakoplov prostor može se definirati na različite načine (jednu točku i vektor, vektor i dva boda, tri boda, itd). To je s tim na umu, jednadžba ravnine može imati različite vrste. Također pod određenim uvjetima ravnina može biti paralelno, okomito, sijeku, itd Na to i da će govoriti u ovom članku. Mi ćemo naučiti kako napraviti opću jednadžbu ravnine, a ne samo.

Normalna oblik jednadžbe

Pretpostavimo R je prostor _3, koji ima pravokutni koordinatni sustav xyz. Definiramo vektor α, koji će biti oslobođen od početne točke O. Po završetku vektorskim a izvući ravnine P koja se okomito na njega.

Označuju P na proizvoljnom točke Q = (x, y, z). Radijus vektor točke Q znak slova str. Duljina jednaka vektora a p = IαI i Ʋ = (cosα, cos, cosγ).

Ova jedinica vektor, koji je usmjeren u smjeru vektora a. α, β i γ - su kutovi koje se tvore između vektora i pozitivne smjerovima osi Ʋ prostor x, y, z odnosno. Projekcija točke na vektor QεP Ʋ je konstanta koja je jednaka p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Gornja jednadžba je značajno kada je p = 0. Jedini n ravnina u ovom slučaju, križnim O (α = 0), koja je izvor, i jedinica za vektorsku Ʋ, koji izlazi iz točke O biti okomita na P, ali njegov smjer, što znači da je vektor Ʋ određen do znaka. Prethodna jednadžba je naša ravnina P, izražen u vektorskom obliku. No, u pogledu njegovih koordinata je:

P je veća od ili jednaka 0. Našli smo jednadžbu ravnine u normalnom obliku.

Opća jednadžba

Ako je jednadžba u koordinatama pomnožiti sa bilo kojeg broja koji nije jednak nuli, dobivamo ekvivalent jednadžbi na to koji definira samu avion. To će imati sljedeći oblik:

Ovdje, A, B, C - je broj istovremeno različit od nule. Ova jednadžba naziva se jednadžba općeg oblika ravnine.

Jednadžbe ravninama. posebni slučajevi

Jednadžba općenito može se mijenjati s dodatnim uvjetima. Razmotriti neke od njih.

Pretpostavljaju da je koeficijent A 0. To ukazuje da je paralelna s ravninom na prethodno određene osi Ox. U ovom slučaju, oblik jednadžbe mijenja: Wu + Cz + D = 0.

Slično tome, oblik jednadžbe i varirat će sa sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, jednadžba promjene Ax + Cz + D = 0, što bi ukazivalo na paralelizam na osi Oy.
• Drugo, da c = 0, jednadžba je transformiran u Ax + By + D = 0, to jest oko paralelno na prethodno određene osi Oz.
• Treće, ako je D = 0, jednadžba će se pojaviti kao Ax + By + Cz = 0, što bi značilo da je avion presijeca O (podrijetlo).
• Četvrto, ako je A = B = 0, jednadžba promjene Cz + D = 0, što će dokazati da paralelizma Oxy.
• Peto, ako B = C = 0, jednadžba postaje Ax + D = 0, što znači da je ravnina je paralelna Oyz.
• Šesto, ako A = C = 0, jednadžba ima oblik Wu + D = 0, tj prijavi se na paralelnost Oxz.

Oblik jednadžbe u segmentima

U slučaju kada je broj A, B, C, D različit od nule, oblik jednadžbe (0) mogu biti kao što slijedi:

x / a + y / b + z / c = 1,

gdje je a = D / A, b = D / B, c = D / C

Primamo kao jednadžba rezultat ravnine u komadima. Treba napomenuti da je ovaj avion će presjeći na osi x na mjestu s koordinatama (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), a Oz - (0,0, S).

Obzirom jednadžba x / a + y / b + z / c = 1, nije teško vizualizirati ravnine položaj u odnosu na prethodno određenom sustavu koordinata.

Koordinate normalnog vektora

Normalno vektor n ravnine P ima koordinate koje su koeficijenti opće jednadžbe ravnine, tj n (A, B, C).

Kako bi se utvrdilo koordinate normalan n, dovoljno je znati opće jednadžbe dano avion.

Kada pomoću jednadžbe u dijelu koji ima oblik x / a + y / b + z / c = 1, kao što je opće jednadžbe, možemo pisati koordinate kojem od normalnog vektora danog ravnini: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Treba napomenuti da je vektor normale pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći problemi koji se sastoji u dokaz okomite ili paralelnim ravninama, zadatak pronalaženja kut između ravnine ili kutova između zrakoplova i ravnih linija.

Tip prema jednadžbi ravnine i koordinate točke normalnog vektora

Različit od nule vektor n, okomito na određenoj razini, naziva normalna (normalno) do unaprijed određene ravnini.

Pretpostavimo da u koordinatnom prostoru (pravokutni koordinatni sustav) Oxyz postaviti:

• Mₒ točka s koordinatama (hₒ, uₒ, zₒ);
• nula vektor n = A * i + B + C * j * K.

Vi trebate napraviti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz Mₒ točke okomito na normalan br.

U prostoru smo odabrati bilo proizvoljnog točku i označavaju M (x, y, z). Neka radijusa vektor svake točke M (x, y, z) bude r = X * i + y * j + z * k i radijus vektor od točke Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + k zₒ *. Točka M će pripadaju određenoj ravnini, ako je vektor MₒM biti okomito na vektor br. Pišemo stanje ortogonalnosti pomoću skalarnog produkta:

[MₒM, n] = 0.

Od MₒM = r-rₒ, vektor jednadžba ravnine će izgledati ovako:

[R - rₒ, n] = 0.

Ova jednadžba može imati i neki drugi oblik. U tu svrhu, svojstva skalarnog produkta i pretvoriti lijevu stranu jednadžbe. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ako [rₒ, n] označen kao S, dobiva se prema sljedećoj jednadžbi: [r, n] - a = 0 ili [D, n] = a, koji izražava konstantnost ispupčenja na normalnog vektora od polumjera-vektora traženih točaka koje pripadaju ravninu.

Sada mogu dobiti u koordinatnom tip snimanja ravnina naš vektor jednadžbe [r - rₒ, n] = 0. Kako r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) + j + (z-zₒ) + k, i n = A * i + B + C * j * K, imamo:

Ispostavilo se da imamo jednadžba se formira ravninu koja prolazi kroz točku okomit na normalan n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tip prema jednadžbi ravnine i koordinata dvije točke na vektor ravnine kolinearna

Mi definirati dvije proizvoljne točke M '(x', y 'z') i M "(x", y”, z "), kao i vektor (A”, A", u kojem ‴).

Sada možemo napisati jednadžbu predodređena ravnina koja prolazi kroz postojeće točke M „i M”, a svaka točka s koordinatama M (x, y, z) paralelno s određenom vektora.

Time M'M vektori x = {x 'y-y', zz '} a M "M = {x" X', y 'y', z „Z„} treba biti na istoj ravnini s vektorom a = (A”, A " A ‴), što znači da (M'M M" M, a) = 0.

Tako je naša jednadžba ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta ravnine jednadžbe, prelazeći tri boda

Recimo imamo tri točke: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), koji ne pripadaju istoj liniji. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri točke navedene. teorija geometrije tvrdi da je ova vrsta avion ne postoji, to je samo jedan i jedini. Budući da je ovaj avion presijeca točku (x „y”, z „), njegov oblik jednadžba će biti:

Evo, A, B i C su različiti od nule u isto vrijeme. Isto tako s obzirom avion presijeca još dva boda (x "y" z „) i (x ‴, y ‴, z ‴). S tim u vezi treba provoditi takvu uvjeta:

Sada možemo stvoriti jedinstven sustav jednadžbi (linearno) s nepoznanica u, v, w:

U našem slučaju x, y i z predstavlja proizvoljnu točku koja zadovoljava jednadžbe (1). S obzirom na jednadžbi (1) i sustav jednadžbi (2) i (3) da sustav jednadžbi označene na slici gore, za vektorsku zadovoljava N (A, B, C), koji je svaki bitan. To je zato što je determinanta sustava jednaka nuli.

Jednadžba (1) da smo dobili, to je jednadžba ravnine. 3 točka ona stvarno ide, a to je lako provjeriti. Da biste to učinili, mi proširiti odrednicu od elemenata u prvom redu. Od postojećih svojstva determinante slijedi da je naš avion istovremeno siječe tri prvobitno određenu točku (x 'y', z „), (x "y" z„), (x ‴, y ‴, z ‴). Tako smo odlučili na zadatak pred nama.

Kut otvaranja između ravnina

Kut otvaranja je prostorni geometrijski oblik nastao od dvije polu-ravninama koje potječu iz ravne crte. Drugim riječima, dio prostora koji je ograničen na pola aviona.

Pretpostavimo da imamo dva aviona sa sljedećim jednadžbama:

Poznato je da je vektor N = (A, B, C) i N¹ = (A¹, H¹, S¹) u skladu s unaprijed određenim ravninama su okomite. U tom smislu, kut φ između N i vektori N¹ jednak kut (dihedralnoj), koji se nalazi između tih ravnina. Skalama proizvod je izrazom:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

upravo zbog

cos = NN¹ / | || N N¹ | = (+ AA¹ VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) + (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da 0≤φ≤π.

Zapravo dvije ravnine koje se sijeku, oblik dva kuta (dihedralnoj): f ₁ i _{2 φ.} Njihov zbroj je jednaki π (f f ₁ + ₂ = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali su različiti znakovi, to jest, cos ₁ = -cos φ _2. Ako u jednadžbi (0) zamijenjen s A, B i C, -A -B i -C odnosno, jednadžbe, dobivamo, odrediti će se u istoj ravnini, jedini kut φ u jednadžbi cos = NN ¹ / | N || ^N1 | To će biti zamijenjen Jt-f.

Jednadžba okomite ravnine

Nazvan okomite ravnine, između kojih je kut 90 stupnjeva. Korištenje materijala prije predstavili, možemo naći jednadžbu ravnine okomite na drugu. Pretpostavimo da imamo dva zrakoplova: Ax + By + Cz + D = 0, a + A¹h V¹u S¹z + D = 0. Možemo reći da su ortogonalni ako cos = 0. To znači da NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Jednadžba paralelnom ravnini

To iz dva paralelnim ravninama koje sadrže bodove zajedničko.

Stanje paralelnih ravnina (im jednadžbe su isti kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori i N N¹, koje su okomite na njih, kolineame. To znači da se sljedećih uvjeta proporcionalnost:

A / A¹-B / C = H¹ / S¹.

Ako su proporcionalne uvjeti proširena - A / B = A¹ / H¹ = C / S¹ = DD¹,

to znači da avion podataka isti. To znači da je jednadžba Ax + By + Cz + D = 0 i + A¹h V¹u S¹z + D¹ = 0 opisati jednu ravninu.

Udaljenost od točke do ravnine

Pretpostavimo da ima ravnine P, koji je dao (0). Potrebno je pronaći put od točke s koordinatama (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Morate donijeti jednadžbu u ravnini II uobičajenog izgleda da to čine:

(Ρ, v) = p (r≥0).

U ovom slučaju, ρ (x, y, z) je radijus vektor našeg točka Q, koja se nalazi na n-r - n je duljina okomice, koji je objavljen od nulte točke, v - je jedinica vektor, koji je postavljen u smjeru s.

Razlika ρ-ρº radijus vektor od točke Q = (x, y, z), koji pripadaju n i radij vektor određenoj točki P ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednost izbočenja koje na v jednak udaljenosti d, što je nužno pronaći od Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) na P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) | ali

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Tako ispada,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Sada je jasno da je za izračunavanje udaljenosti d od ₀ do Q ravnine P, potrebno je koristiti normalne jednadžbe ravnini, pomak na lijevo od p, a posljednje mjesto x, y, z zamjena (hₒ, uₒ, zₒ).

Dakle, nalazimo apsolutnu vrijednost je rezultat izraza koje je potrebno d.

Korištenje parametara jeziku, dobili smo što je očito:

d = | Ahₒ Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ako određeni točka Q ₀ se nalazi na drugoj strani ravnine P kao izvor, a zatim između vektora ρ-ρ ⁰ i v je pod tupim kutom, na sljedeći način:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -P> 0.

U slučaju kada Q ₀ točka u kombinaciji s porijekla koji se nalazi na istoj strani U, zašiljenost se stvara, i to:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Rezultat je da u prvom slučaju (r ^0, v)> p, u drugom (r ^0, v)

I njegova tangencijalna ravnina jednadžba

S obzirom na ravninu do površine na mjestu tangencije Mº - ravnina koja sadrži sve moguće tangentu na krivulju provlači kroz te točke na površini.

U ovoj vrsti površinskih jednadžbi F (x, y, z) = 0 u jednadžbi tangencijalna ravnina (tangencijalne točke Mº hº, uº, zº) bio bi:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (Z-zº) = 0.

Ako je površina postavljena izričito z = f (x, y), zatim se tangencijalna ravnina je opisan formulom:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Sjecište dvije ravnine

U trodimenzionalnom prostoru je koordinatni sustav (pravokutni) Oxyz, s obzirom na dvije ravnine P „i P” koje se preklapaju i ne poklapaju. Jer bilo ravnini, koja je u pravokutni koordinatni sustav definiran općom jednadžbom, pretpostavljamo da n „i n„su definirani jednadžbi A'x + V'u S'z + D”= 0 i A" + B x '+ y s "D" + z = 0. U ovom slučaju imamo normalno N '(A', B 'C') od ravnine P 'i "normalne n (A", B "C") od ravnine P'. Kao što je naš avion nisu paralelni i ne podudaraju, onda ti vektori nisu kolinearno. Koristeći jezik matematike, imamo ovo stanje može se zapisati kao: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (X * i", λ * U "λ * C"), λεR. Neka pravac koji se nalazi na raskrižju P „i P”, bit će označeni slovom A, u ovom slučaju a = P”∩ P".

i - linija se sastoji od više točaka (uobičajeni) ravnina P „i P”. To znači da su koordinate bilo koje točke pripada linije a istovremeno mora zadovoljavati jednadžbe A'x + V'u S'z + D '= 0 i A „x + B' + C 'y z + D" = 0. To znači da su koordinate točke biti će posebno rješenje od sljedećih jednadžbi:

Rezultat toga je da je rješenje (ukupni) ovog sustava jednadžbi će odrediti koordinate svake od točaka na crti koja će djelovati kao sjecišta P „i P”, i odrediti liniju u sustavu koordinatnom Oxyz (pravokutni) prostora.