Cramer je pravilo i njegova primjena

Cramer je pravilo - jedna je od egzaktnih metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (Slough). Njegova preciznost zbog upotrebe determinanti matrice sustava, kao i neke od ograničenja nametnutih u dokaz teorema.

Sustav linearnih jednadžbi s koeficijenti pripadaju, na primjer, više R - realni brojevi nepoznanica X1, X2, ..., xn skup izraza

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = BI s i = 1, 2, ..., m (1)

gdje aij, dvo - realni brojevi. Svaki od ovih izraza naziva linearna jednadžba, aij - koeficijenti nepoznanica, dvo - nezavisni koeficijenti jednadžbe.

Otopina (1) iz n-dimenzionalni vektor x ° = (x1 °, x2 °, ... Xn °), pri kojima je supstitucija u sustav za nepoznanice X1, X2, ..., Xn, svaki od vodova u sustavu postaje najbolje jednadžbe ,

Sustav se zove dosljedan ako ima barem jedno rješenje, a nedosljedne, ako se poklapa sa skupom rješenja praznog skupa.

Treba imati na umu da kako bi se pronašli rješenja za sustave linearnih jednadžbi pomoću metode Cramer, matrični sustavi moraju biti kvadratni, što u osnovi znači isti broj nepoznanica i jednadžbi u sustavu.

Dakle, da se poslužimo Cramer metodu, možete barem mora znati što je Matrica je sustav linearnih algebarskih jednadžbi, te je izdana. I drugo, da shvate što se zove determinanta matrice i vlastitih vještina računanja.

Pretpostavimo da to znanje koje posjeduju. Divno! Tada ćete morati samo pamtiti formule određuju Kramer metodu. Kako bi se pojednostavio pamćenje koristite sljedeći zapis:

• Det - glavna odrednica matrice sustava;

• deti - je determinanta matrice dobivene iz primarnog matrice sustava zamjenom i-th kolone matrice na stupcu vektorom čiji su elementi desna strana LAJ;

• n - broj nepoznanica i jednadžbi u sustavu.

Zatim Cramer je pravilo računanja i-komponenta xi (i = 1, .. n) n-dimenzionalni vektor x može biti napisan kao

xi = deti / Det, (2).

U tom slučaju, Det strogo različit od nule.

Jedinstvenost rješenje sustava kada je zajedno osigurava nejednakosti stanje glavne odrednice sustava na nulu. Inače, ako je zbroj (xi), kvadrat, strogo pozitivna, onda SLAE kvadratna matrica je nemoguća. To se može dogoditi naročito ako je barem jedan od deti različit od nule.

Primjer 1. Kako riješiti trodimenzionalni Lau sustav pomoću Cramer formulu.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Odluka. Mi zapisati matricu reda sustava po redak, gdje je Ai - Jeli I-og reda matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1, 1).
Stupcu slobodne koeficijenti b = (31). 29. listopada

Glavni sustav je determinanta Det
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + A31 + A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Za izračunavanje permutacija det1 pomoću a11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. tada
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81.

Slično tome, izračunati det2 koristiti ulazak a12 = b1, b2 = A22, A32 = b3, i prema tome, za izračunavanje det3 - A13-B1, A23 = b2, b3 = A33.
Tada možete provjeriti da det2 = -108 i det3 = - 135.
U skladu s formulama nalaze Cramer x1 = -81 (/ - 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (-) = 27 5.

Odgovor: x ° = (3,4,5).

Oslanjajući se na primjenjivosti ovog pravila, metoda Kramer rješavanje sustava linearnih jednadžbi mogu se koristiti neizravno, na primjer, da istraži sustav na mogući broj rješenja, ovisno o vrijednosti parametra k.

Primjer 2. utvrditi u koje vrijednosti od nejednakosti parametra k | KX - Y - 4 | + | x + KY + 4 | <0 ima točno jedno rješenje.

Odluka.
Ova nejednakost, po definiciji funkcije modula mogu se obavljati samo ako oba izraza su nula istovremeno. Dakle, ovaj problem se svodi na pronalaženje rješenja linearnih algebarskih jednadžbi

KX - y = 4,
x + KY = -4.

Rješenje ovog sustava samo ako je glavna odrednica
Det-k ^ {2} + 1 je različit od nule. Jasno je da je ovaj uvjet zadovoljen za sve stvarne vrijednosti parametra k.

Odgovor: za sve stvarne vrijednosti parametra k.

Ciljevi ovog tipa također se može smanjiti brojne praktične probleme iz područja matematike, fizike ili kemije.